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丁石孙 : 数学的力量
2013-03-26 13:23     (阅读:)
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    丁石孙 1927年生。著名数学家,专于代数、数论。在代数、数论、应用代数、李代数理论的研究方面取得多项成果。数学的作用不局限于它是一门知识,更不仅仅是工具。哪个学科一旦与数学的某个问题挂上了钩,往往就能得到一个飞跃的发展。这方面的例子很多,比如,80年代Hauptmann得了诺贝尔化学奖,他解决的是如何用X光确定晶体结构的问题,主要靠的就是数学。获得诺贝尔化学奖以后,他跟人讲,我的化学水平就是大学念了半年的普通化学。这很值得我们深思。数学往往能够对不同的学科起作用,但对什么学科起作用,以什么样的方式起作用,并不是我们事先能够预料的。从科学发展来看,数学和许多学科都发生过密切的关系,数学的发展和许多学科的发展都起着很相辅相成的作用——就是或者说数学的发展促进了其他学科的发展,或者其他学科向数学提出了许多具体的问题,结果也推动了数学的发展。比如,最早提出博弈论的是冯•诺依曼。二次世界大战时,德国的空军很强,飞机数量多,质量也好。为了解决如何以处于劣势的美国空军打败德国空军的问题,美国就找了一批数学家,冯•诺依曼就在其中。他是个大数学家,结果就是他从这个问题里发展出了博弈论。关于数学的地位,有的人提出这样一种说法,认为数学是科学的王后。这个说法很多数学家不赞成。数学并不是孤立于其他学科而高高在上的,而是和其他学科相辅相成,共同促进,共同发展。把数学与其他学科的关系说成是伙伴关系,也许更恰当一些。我们现在说的数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出来的。他说,数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的。恩格斯这个定义是19世纪提的,随着20世纪数学的发展,很多东西这个定义解决不了。说到数量关系,就是指数学研究数的运算。但随着数学的发展,数学运算的对象远远超出了数。空间形式是指当时被理解为客观世界的空间形式,也就是我们所说的三维空间。但是,几何学里的研究已经远远超出了三维,涉及到四维、五维、多维甚至无数维。所以拿19世纪的定义来概括数学就显得很不够。 解放后,我参加了很多次讨论,就是如何给数学下定义。到现在为止,我觉得没有一个定义是让人满意的。这也说明数学的定义很难下。比如有人提出来,数学是研究“量”的,把“数”字去掉。他说,有“数”呢,就显得太死了。那什么叫“量”呢?我给提出这个概念的人说过,你说的“量”是一个哲学概念。现在又有人说数学研究的是秩序,也就是说,数学的研究就是给这个世界以秩序。想想这种说法也有点道理,但说的还是不大清楚。从这里可以看出一条,数学与其他自然科学和社会科学不一样,因为数学的研究对象是抽象的。而那些学科都有非常具体的对象,但数学没有。数学所以能用到自然科学,又能用到社会科学,甚至人文学科,就是因为它是抽象的。数学研究对象的抽象性首先有一条,就是能够训练我们一种思维方法——抽象思维方法。数学里即使是从自然数开始,也已经是非常抽象的概念了,要经过很多层抽象才能够得出来。你要研究数学发展史,就会发现数的概念的形成其实是很不容易的。所以,学数学可以训练人的抽象思维能力。抽象这种思想方法为什么这么重要呢?因为我们要把握住一个东西,就必须去掉很多你认为不重要的东西,要舍弃很多非本质的东西,就是必须通过抽象。抽象的思想方法对于研究科学,甚至处理日常生活里出现的问题都是重要的。如果你没有抽象的能力,你就不容易分清你现在究竟要解决的是什么问题。这是数学突出的特点,即它的抽象性。数学的抽象性使得数学广泛地应用于很多方面,应用到很多完全不同的方面。第二个特点,因为数学的抽象性,所以对数学对象必须要讲得非常清楚,也就是要下定义。其他学科对定义的要求不太一样,我们可以大致描述一下那是个什么东西,听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象,简单地描述是不行的,必须要有严格的定义。数学里的定义非常重要,这一点大家都能体会到。我在教学中发现,其他系的老师到数学系讲课,往往遇到一个很大的困难。因为学生什么都问定义,比如物理系的老师来讲课,他讲到“力”,学生就要求给“力”下定义。这非常困难,因为老师很难用几句话把“力”刻画清楚,不像数学里讲“圆”,就是从一点出发画出的等距离的轨迹,说得多清楚。数学为什么对定义有这么严格的要求呢?就以为它的对象抽象,你不通过定义把它界定清楚,就没法讨论。我经常开玩笑地说,学数学的人是非常笨的,他听的东西,只要那个定义没说清楚,他就听不懂。在这个意义上,有它的好处,也有它的坏处。你什么都要定义,其实并不是所有的东西都可以下定义的。数学的第三个特点是它的逻辑的严格性。因为它是抽象的,所以它的展开只能靠逻辑,这一点对我们来说也是非常重要的训练。这我们可以从平面几何来理解。学了平面几何究竟起什么作用呢?年轻的时候,也就是念了大学的数学以后,我就宣称平面几何没有用,一些难题现实中到哪里去找啊?20世纪50年代,我参加过中学数学的教学改革,就经常说平面几何应该取消。但后来当了几年教员后,我就发现,学过平面几何和没学过的学生有一点不一样,就是你说要证明一个问题,学过平面几何的学生很容易接受,但没有学过的接受起来就比较困难。“文革”期间的学生,你让他证明三角形的三个内角之和是180º,他们很多人就会说,这么简单的问题还要你证啊?拿量角器量一下不就得了,搞得我们啼笑皆非。这就说明,逻辑思维能力是需要通过一些具体的东西来培养的,平面几何就是培养人们逻辑思维能力的很好的媒介。过去我们曾经认为,通过上逻辑课可以直接获得逻辑思维能力,为此,在中学还专门开过形式逻辑课,但最后证明效果很差,后来才知道人的逻辑思维能力是不能单单通过上逻辑课来培养的。通过学习数学,能够获得很好的思维习惯、思想方法,在无形中会对我们起作用,举个例子,“文革”中,经常下工厂联系实际。我们中的很多人可能对工厂里的实际问题不清楚,但是只要你能把逻辑关系理清楚,就能知道它是个什么问题,已知的条件是什么,要解决的问题是什么。这就是我从学习数学中逐渐学到的。不同专业的数学教学计划,都涉及数学课安排多少的问题。我的看法,不是数学课越多越好,因为总的教学时间是有限的。考虑数学课的时候,应该从两方面来考虑,一是数学对你未来可能从事的专业有没有用,有多少用。用得多的,就要多下一些功夫。另一方面,还要顾及到数学是一个整体,学习数学可以培养一个人的的思想方法。为了培养思想方法,你就不能用多少学多少。这种情况是有的,在“文革”中,就曾经搞过数学结合专业讲。专业里用到什么就讲什么,完全把数学变成工具,这样其实是学不好数学的。所以,数学课程的设置,既要考虑到用,又要考虑到数学是一个完整的体系,要使学生对数学的整个结构有比较清楚的了解。用得着的东西要讲,也不是所有用得着的东西都要讲。数学知识可以分两种,一种是比较基础的,一定要学通;还有一种是属于提高的,这些等到你用的时候再学还来得及。比如十几年前,大家都感到计算机的用途越来越广,于是就学习计算机语言。但后来的经验是,语言学多了也没有用。有的同志经常说,数学是美的享受,这话我就不大懂。有些时候你可以说数学很美,但也就是说说,不能过分夸大。因为这不是数学的本质的规定性。 数学不只是知识,它同时培养人的能力,提高人的素质,能给人一无形中的影响。我经常碰到这样一些学生,他们毕业已经很多年了,并且完全改了行。他们告诉我,在大学一年纪时听过我的课,这些课对他们还是有影响的。听了这些话我当然很高兴。我觉得,他们讲的不完全是恭维我的话,我讲的那些内容可能他们早就忘了,那些公式、定理他们早就不记得了,但是他们也许在我的课上学会了一些思考问题的方法,这些方法能够使他们终身受益。记得有位数学家讲过这样一句话,今天数学教育的质量,决定着明天科学人才的水平。我把这句话提供给大家,供大家参考。(本文为丁石孙先生做的一场学术报告,有删节)

 

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